連立常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/18 02:00 UTC 版)
連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x1(t),..., xn(t) およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x1(t), x2(t) とする。それらの一階の導関数を x'1(t), x'2(t) として、 F ( t , x 1 , x 2 , x 1 ′ ( t ) , x 2 ′ ( t ) ) = 0 , {\displaystyle F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,} G ( t , x 1 , x 2 , x 1 ′ ( t ) , x 2 ′ ( t ) ) = 0 {\displaystyle G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0} は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数である。 一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。 F k ( t ; x 1 , … , x m ; x 1 ( 1 ) , … , x m ( 1 ) ; … ; x 1 ( n ) , … , x m ( n ) ) = 0 , k = 1 , 2 , … , r . {\displaystyle F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.} ここで xi(j)(t) は、未知関数 xi(t) の j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n)。なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。これら r 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 x1(t),..., xm(t) をその解という。 具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、 d y d x = a z + b , {\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,} d z d x = c y + d {\displaystyle {\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d} は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている。一例を挙げておく。 { F ( y , d z d x ) = 0 , G ( z , d w d x ) = 0 , H ( w , d y d x ⋅ ( d w d x ) − 1 ) = 0. {\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}} x は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする。
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