理論 : 航空魚雷の運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/29 23:31 UTC 版)
「九一式魚雷」の記事における「理論 : 航空魚雷の運動方程式」の解説
成瀬正二少将は戦前から太平洋戦争終了まで、彼のクラス講義で次のように説明していた。 航空魚雷の運動方程式は、連立常微分方程式で表現できる。次式で空中での魚雷の頭上げ動作がモデル化された。 Eq. 1: 魚雷の水平速度方程式 Eq. 2: 魚雷質量の水平加速度方程式 Eq. 3: 魚雷の垂直速度方程式 Eq. 4: 魚雷質量の垂直加速度方程式 Eq. 5: 時間変数についての角速度方程式 Eq. 6: 時間変数についての角速度微分方程式 d x / d t = V X ⋯ ( E q . 1 ) W / g × ( d V X / d t ) = − D cos φ − L sin φ ⋯ ( E q . 2 ) d z / d t = V Z ⋯ ( E q . 3 ) W / g × ( d V Z / d t ) = D sin φ − L cos φ + W ⋯ ( E q . 4 ) d θ / d t = ω ⋯ ( E q . 5 ) I × ( d ω / d t ) = 57.3 M − b V ω ⋯ ( E q . 6 ) {\displaystyle {\begin{array}{lclr}dx/dt&=&V_{X}&\cdots (Eq.\ 1)\\W/g\times \left(dV_{X}/dt\right)&=&-D\cos \varphi -L\sin \varphi &\cdots (Eq.\ 2)\\dz/dt&=&V_{Z}&\cdots (Eq.\ 3)\\W/g\times \left(dV_{Z}/dt\right)&=&D\sin \varphi -L\cos \varphi +W&\cdots (Eq.\ 4)\\d\theta /dt&=&\omega &\cdots (Eq.\ 5)\\I\times \left(d\omega /dt\right)&=&57.3M-bV\omega &\cdots (Eq.\ 6)\end{array}}} ここで、Eq. 6 の定数 57.3 は、1ラジアン = 57.2958° による。 Eq. 6 の bVω は、ダンピングモーメントであり、b は次式で定義される。 b = − ( δ C m g H / δ α H ) × ( ρ S l / 2 ) × l H {\displaystyle b=-(\delta C_{mgH}/\delta \alpha _{H})\times (\rho S{\mathit {l}}/2)\times {\mathit {l}}_{H}\,} ここで、魚雷の角度モーメントは、次式の頭上げ挙動である。 ω l H / V = ( δ C m g H / δ α H ) × ( ρ S l / 2 ) × l H × V × ω {\displaystyle \omega {\mathit {l}}_{H}/V=(\delta C_{mgH}/\delta \alpha _{H})\times (\rho S{\mathit {l}}/2)\times {\mathit {l}}_{H}\times V\times \omega \,} V : 魚雷の速度 VH : 魚雷の水平速度 VZ : 魚雷の垂直速度 φ : 魚雷の進行方向の水平軸に対する角度 θ : 魚雷の進行方向の水平軸に対する姿勢角度 α : φ と θ とのなす角度、すなわち魚雷の尾翼の頭上げ角 W : 魚雷の質量 g : 重力加速度 (9.8 m/sec2) I : 魚雷の重心での揚力モーメントの慣性係数 ω : 揚力角速度（単位はラジアン） D : 空気抵抗モーメント L : 揚力モーメント M : 魚雷の長軸周りの回転モーメント ρ : 空気密度 S : 魚雷の断面積 l : 魚雷の長さ lH : 魚雷の尾翼による揚力モーメントの中心と重心との距離 lH の値は、箱型の木製安定尾翼のあり／なしによって異なる空気抵抗モーメント係数として、風洞実験で測定した。 l H = ( − C m g H l + C t H d ) / C n H {\displaystyle {\mathit {l}}_{H}=(-C_{mgH}\,{\mathit {l}}+C_{tHd})/C_{nH}\,} ここで、各係数は次のとおり： CnH = CXH sin α + CZH cos α CtH = CXH cos α + CZH sin α CX : 空気抵抗モーメント係数 D / (1/2 ρV2S ) CZ : 揚力モーメント係数 L / (1/2 ρV2S ) Cmg : 魚雷の重心周りの回転モーメント係数 M / (1/2 ρV2l ) CXH : 魚雷の箱型安定尾翼による空気抵抗モーメント係数 CZH : 魚雷の箱型安定尾翼による揚力モーメント係数 CmgH : 魚雷の箱型安定尾翼による重心周りの回転モーメント係数 この高次連立常微分方程式は、解析解を求めることはできないが、数値解析で解くことは可能である。 Eq. 1〜4 を所定の境界条件下で解くことにより、t, X, Z それぞれを求める式が定積分の形で得られる。 X = ∫ λ 0 λ d λ g C + k φ ( x ) , Z = ∫ λ 0 λ λ d λ g C + k φ ( x ) {\displaystyle X=\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }\,{\frac {d\lambda }{gC}}\,+\,k\,\varphi (x),\quad Z=\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }\,\lambda \,{\frac {d\lambda }{gC}}\,+\,k\,\varphi (x)} ここで、初期時刻 t = 0 で、λ = −tan φ，λ0 = −tan φ0 とする。 定積分は常微分方程式分野における合成シンプソン公式によって数値解析する。頭上げ動作の方程式 Eq. 5 を4次ルンゲクッタ法によって数値積分して ω を求める。魚雷の頭上げ動作の安定性 Eq. 6 は指数関数方程式であり、指数移動平均法 (EMA) で数値解析する。
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