指数移動平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/01 01:55 UTC 版)
指数移動平均(英: Exponential Moving Average; EMA) では、指数関数的に重みを減少させる。指数加重移動平均 (英: Exponentially Weighted Moving Average; EWMA)、指数平滑移動平均 (英: Exponentially Smoothed Moving Average) とも呼ばれる。重みは指数関数的に減少するので、最近のデータを重視するとともに古いデータを完全には切り捨てない（重みは完全にゼロにはならない）。右図は、重みの減少する様子を表したものである。なお、EMA は移動平均とは呼べないとする立場もあり、その場合は指数平滑平均 (英: Exponential Average) と呼ぶ。 重みの減少度合いは平滑化係数と呼ばれる 0 と 1 との間の値をとる定数 α で決定される。α は百分率で表現されることもあり、平滑化係数が 10% というのは α=0.1 と同じことを表している。αを時系列区間 N で表すこともあり、その場合は α = 2 N + 1 {\displaystyle \alpha ={2 \over {N+1}}} となる。例えば、N=19 なら α=0.1 となる。重みの半減期（重みが0.5以下となる期間）は、約 N/2.8854 である（N＞5 のとき1％の精度で）。 時系列上のある時点 t の値を Yt で表し、ある時点 t での EMA を St で表す。S1 は定義しない。S2 の値をどう設定するかにはいくつかの手法があり、S2 の値を Y1 とすることが多いが、S2 を時系列上の最初の4つか5つのデータの平均とすることもある。α が小さい場合、S2 をどう設定するかは比較的重要であるが、αが大きい場合は（古い値の重みが小さくなるので）重要ではない。 t≧3 の場合の EMA の計算式は次のとおりである。 S t = α × Y t − 1 + ( 1 − α ) × S t − 1 {\displaystyle S_{t}=\alpha \times Y_{t-1}+(1-\alpha )\times S_{t-1}} この計算式は Hunter (1986)によるものである。各データの重みは、 α ( 1 − α ) x Y t − ( x + 1 ) {\displaystyle \alpha (1-\alpha )^{x}Y_{t-(x+1)}} になる。Roberts (1959) では Yt-1 の代わりに Yt を使っていた。 この式をテクニカル分析の用語を使って表すと次のようになる。用語が異なるだけで同じ式である EMA t o d a y = EMA y e s t e r d a y + α × ( price t o d a y − EMA y e s t e r d a y ) {\displaystyle {\text{EMA}}_{\mathrm {today} }={\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} }+\alpha \times ({\text{price}}_{\mathrm {today} }-{\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} })} この式で EMA y e s t e r d a y {\displaystyle {\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} }} を展開すると次式のようなべき級数となり、各時点の価格 p1, p2, …… が指数関数的に重み付けされている。 EMA M = α × ( p M + ( 1 − α ) p M − 1 + ( 1 − α ) 2 p M − 2 + ⋯ ) {\displaystyle {\text{EMA}}_{M}=\alpha \times \left(p_{M}+(1-\alpha )p_{M-1}+(1-\alpha )^{2}p_{M-2}+\cdots \right)} 理論上これは総和であるが、1-α が 1より小さいので、項はどんどん小さくなって、ある項から先は無視できる大きさになる。 N 日間の EMA といった場合の N は単に係数αを示すに過ぎず、実際の計算は N 日間のデータだけでは済まない。ただし、直近の N 日間のデータが EMA において 86 ％の重みをもつ。証明： α × ( 1 + ( 1 − α ) + ( 1 − α ) 2 + ⋯ + ( 1 − α ) N ) α × ( 1 + ( 1 − α ) + ( 1 − α ) 2 + ⋯ + ( 1 − α ) ∞ ) = 1 − ( 1 − 2 N + 1 ) N + 1 {\displaystyle {{\alpha \times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots +(1-\alpha )^{N}\right)} \over {\alpha \times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots +(1-\alpha )^{\infty }\right)}}=1-{\left(1-{2 \over N+1}\right)}^{N+1}} （左辺の分母は1であり、分子の等比数列の和が右辺の形になる。）この極限値は、 lim N → ∞ [ 1 − ( 1 − 2 N + 1 ) N + 1 ] {\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left[1-\left(1-{2 \over N+1}\right)^{N+1}\right]} = 1-e-2 ≒ 0.8647 になる（e はネイピア数）。 実際には、上のべき級数の式を使って最初のある日までの EMA を計算し、その翌日以降は最初のほうで示した式を使えばよい。 初期値の問題に戻る。古いデータに極めて大きな値があった場合、たとえその重みが小さくても全体には大きな影響を与える。そういう場合には、価格変動がそれほど大きくないと仮定できるなら、重みだけを考慮してある項目数 k までで計算を打ち切ればよい。このとき、省略される項の重みは α × ( ( 1 − α ) k + ( 1 − α ) k + 1 + ( 1 − α ) k + 2 + ⋯ ) {\displaystyle \alpha \times \left((1-\alpha )^{k}+(1-\alpha )^{k+1}+(1-\alpha )^{k+2}+\cdots \right)} = α × ( 1 − α ) k × ( 1 + ( 1 − α ) + ( 1 − α ) 2 + ⋯ ) {\displaystyle =\alpha \times (1-\alpha )^{k}\times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots \right)} = ( 1 − α ) k {\displaystyle =(1-\alpha )^{k}} となる。すなわち、全体の重み 1 に対して ( 1 − α ) k {\displaystyle (1-\alpha )^{k}} に相当する部分が省略されることになる。 例えば、99.9 ％の重み（精度）で計算したい場合には、計算する項目数を k = log ( 0.001 ) log ( 1 − α ) {\displaystyle k={\log(0.001) \over \log(1-\alpha )}} とすればよい。 log ( 1 − α ) {\displaystyle \log \,(1-\alpha )} は N が増えるに従って − α = − 2 N + 1 {\displaystyle -\alpha ={-2 \over {N+1}}} に近づいていくから、N が大きいときは k = 3.45 ( N + 1 ) {\displaystyle k=3.45(N+1)} とすればほぼ 99.9% の精度となる。 なお、 α = 2 N + 1 {\displaystyle \alpha ={2 \over {N+1}}} ではなく α = 1 N {\displaystyle \alpha ={1 \over {N}}} とする EMA もある（次節）。
※この「指数移動平均」の解説は、「移動平均」の解説の一部です。
「指数移動平均」を含む「移動平均」の記事については、「移動平均」の概要を参照ください。
「指数移動平均」に関係したコラム
-
FXやCFDのダブル指数移動平均とは、指数移動平均と指数移動平均の指数移動平均を用いたテクニカル指標のことです。ダブル指数移動平均は2重指数移動平均ともいい、英語では、DEMA、Double Expo...
-
FXやCFDのトリプル指数移動平均とは、指数移動平均と指数移動平均の指数移動平均、さらに指数移動平均の指数移動平均の指数移動平均を用いたテクニカル指標のことです。トリプル指数移動平均は3重指数移動平均...
-
テクニカル分析でバイナリーオプションの予想をするには、テクニカル指標によりその先の値動きを予測します。ここでは、いくつかのテクニカル指標と予想の仕方を紹介します。▼EMA（Exponential Mo...
- 指数移動平均のページへのリンク
