指数的な成長過程の結果

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指数的な成長過程の結果

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/14 03:25 UTC 版)

「ベンフォードの法則」の記事における「指数的な成長過程の結果」の解説

数値の対数が普遍的に分布していると考えれば、ベンフォードの法則の正確な形は説明できる。これは、たとえば100から1,000まで（対数で2から3まで）の間で分布しているのと、10,000から100,000まで（対数で4から5まで）の間で分布しているのとが同じようであるという意味である。多くの数の集合、特に収入や株価など指数的に大きくなる数値に関しては、これは合理的な仮定である。 単純な例で、どのようにこれが働くのかを説明する。ある量が「指数的に増加する」とは、別な言葉で言えば、その量が2倍になる時間は一定であるということである。その量が2倍になるのに1年掛かるのであれば、そのさらに1年後にはさらに2倍になる。2年後の終わりには元の値の4倍になり、3年後の終わりには元の値の8倍になる。ここでは、1年ごとに2倍になる値が、ちょうど100になった年から考えるものとする。この値の最初の桁は、最初の1年間はずっと1である。2年目には7ヶ月強の間2になり、残りの5ヶ月ほどの間3になる。3年目には4、5、6、7と次第に短い時間になっていく。4年目の初期には最初の桁は8と9になり、そしてこの量は1,000になる。そしてこの過程が再び最初から始まる。この例で、期間中任意の時期にこの量を測れば、最初の桁が1である時に測定する確率が高く、1桁目がより大きな値になるにつれて測定する確率はどんどん小さくなるということは簡単にわかる。 この例では、指数的に増大する値の測定結果がベンフォードの法則に従うであろうということを示した。しかし、指数的な増大が明白でない多くの場合にも法則が適用できるようにみえる。