指数関数
(指数級数 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/30 04:07 UTC 版)
|
この記事は英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。（2024年5月）
翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。
|
実解析における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function）は、冪乗における指数 (exponent) を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数の逆関数であるため、逆対数 (anti-logarithm, inverse logarithm) と呼ばれることもある[1][注釈 1]。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数関数的成長や指数関数的減衰の項を参照）。
一般に、a > 0 かつ a ≠ 1 なる定数 a に関して、（主に実数の上を亙る）変数 x を ax へ送る関数は、「a を底とする指数関数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする冪函数とは対照的である。
しばしば、より狭義の関数を意図して単に「指数関数」と呼ぶこともある。そのような標準的な (the) 指数関数（あるいはより明示的に「自然指数関数」）[注釈 2]はネイピア数 e (= 2.718281828…) を底とする関数 x ↦ ex である。これを exp x のようにも書く。この関数は、導関数が自分自身に一致するなど、他の指数関数と比べて著しく特異な性質を持つ。底 e を他の底 a に取り換えるには自然対数 ln x を用いて、等式
-
赤線（―）は指数関数を表わす。黒い横線（―）は指数関数の曲線が緑の縦線（―）に交わる点を示している。緑の縦線を一定間隔で配置すると、黒の横線の間隔は急激に広がっていくことが分かる。 ある量の変化（増大または減少）率がその量の現在値に比例するというような状況において、指数関数は生じてくる（指数関数的増大または指数関数的減少）。
そのような例として、連続的複利計算があり、実はヤコブ・ベルヌーイが (Bernoulli 1683)[3] においてこのような複利計算から今日 e と書かれる数（ネイピア数）
-
指数関数（青線：―）と、原点における指数関数のテイラー展開の第 n + 1 項までの和（赤線：―）。 指数関数
-
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Exponential Function". mathworld.wolfram.com (英語).
- exponential function - PlanetMath.
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Exponential function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Exponential function, real”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Antilogarithm”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- exponential in nLab
| 典拠管理データベース: 国立図書館 |
|---|
指数級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 04:29 UTC 版)
「フォン・マンゴルト関数」の記事における「指数級数」の解説
ハーディとリトルウッドは級数の極限 y → 0+ を調べた F ( y ) = ∑ n = 2 ∞ ( Λ ( n ) − 1 ) e − n y {\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}} 彼らはリーマン予想を仮定すると以下の式が成り立つことを示した。 F ( y ) = O ( 1 y ) and F ( y ) = Ω ± ( 1 y ) {\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)} 特にこの関数は、発散を伴って振動する。つまり、0の近傍で以下の不等式を無限に何度も満たす値 K > 0 が存在する。 F ( y ) < − K y , and F ( z ) > K z {\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}} 右図は、この挙動が最初は数値的に明らかではないことを示している。y < 10-5 のときは、級数を1億項以上合計しないと振動ははっきりと見られない。
※この「指数級数」の解説は、「フォン・マンゴルト関数」の解説の一部です。
「指数級数」を含む「フォン・マンゴルト関数」の記事については、「フォン・マンゴルト関数」の概要を参照ください。
「指数級数」の例文・使い方・用例・文例
- 指数級数
- 指数級数のページへのリンク
