指数関数
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実解析における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function）は、冪における指数 (exponent) を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 (anti-logarithm, inverse logarithm) と呼ばれることもある[1][注釈 1]。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数関数的増加や指数関数的減衰の項を参照）。
注釈
- ^ "Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm)…"[2]
- ^ 英語で exponential function と the exponential function とを区別することがあるように、ドイツ語では一般の底に関する指数関数を exponentiellen Funktionen（指数の関数）、自然指数関数を Exponentialfunktion のように区別することもある。
出典
- ^ MSDN の
Exp関数の解説 - ^ – p. 12 of Converse; Durrell (1911), Plane and spherical trigonometry, C.E. Merrill co.
- ^ a b John J O'Connor; Edmund F Robertson. “The number e”. School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. 2011年6月13日閲覧。
- ^ a b Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.
- ^ Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 1. ISBN 978-0-07-054234-1
指数級数
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「フォン・マンゴルト関数」の記事における「指数級数」の解説
ハーディとリトルウッドは級数の極限 y → 0+ を調べた F ( y ) = ∑ n = 2 ∞ ( Λ ( n ) − 1 ) e − n y {\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}} 彼らはリーマン予想を仮定すると以下の式が成り立つことを示した。 F ( y ) = O ( 1 y ) and F ( y ) = Ω ± ( 1 y ) {\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)} 特にこの関数は、発散を伴って振動する。つまり、0の近傍で以下の不等式を無限に何度も満たす値 K > 0 が存在する。 F ( y ) < − K y , and F ( z )> K z {\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}} 右図は、この挙動が最初は数値的に明らかではないことを示している。y < 10-5 のときは、級数を1億項以上合計しないと振動ははっきりと見られない。
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