指数型汎函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/14 02:47 UTC 版)
汎函数 F を F [ φ ( x ) ] = exp ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) {\displaystyle F[\varphi (x)]=\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)} で与えられるものとする。デルタ函数を試験函数として δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( y ) = lim ε → 0 F [ φ ( x ) + ε δ ( x − y ) ] − F [ φ ( x ) ] ε = lim ε → 0 exp ( ∫ ( φ ( x ) + ε δ ( x − y ) ) g ( x ) d x ) − exp ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) ε = exp ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) lim ε → 0 exp ( ε ∫ δ ( x − y ) g ( x ) d x ) − 1 ε = exp ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) lim ε → 0 exp ( ε g ( y ) ) − 1 ε = exp ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) g ( y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\displaystyle \exp \left(\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx\right)-\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)}{\varepsilon }}\\&=\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\displaystyle \exp \left(\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx\right)-1}{\varepsilon }}\\&=\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\exp \left(\varepsilon g(y)\right)-1}{\varepsilon }}\\&=\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)g(y).\end{aligned}}} となるから、 δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( y ) = g ( y ) F [ φ ( x ) ] {\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)]} を得る。
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