指数分布族の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/12 08:48 UTC 版)
「一般化線形モデル」の記事における「指数分布族の性質」の解説
下記のように尤度関数を定める。 L ≡ log f ( y ; θ , ϕ ) = y θ − a ( θ ) ϕ + c ( y , ϕ ) {\displaystyle L\equiv \log {f(y;\theta ,\phi )}={\frac {y\,\theta -a(\theta )}{\phi }}+c(y,\phi )} このとき、下記等式が成立する。 E ( ∂ L ∂ θ ) = 0 , E ( ∂ 2 L ∂ θ 2 ) = − E ( ∂ L ∂ θ ) 2 {\displaystyle E\left({\frac {\partial L}{\partial \theta }}\right)=0,\;E\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial \theta ^{2}}}\right)=-E\left({\frac {\partial L}{\partial \theta }}\right)^{2}} この等式を用いて計算すると、確率変数 Y {\displaystyle Y} の平均は a ′ ( θ ) {\displaystyle a'(\theta )} 、分散は ϕ a ″ ( θ ) {\displaystyle \phi \,a''(\theta )} であることが分かる。 下記の他、多くの確率分布が指数分布族に分類される。 正規分布 ベルヌーイ分布 ポアソン分布 二項分布 ガウス分布
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