初期値を 0, 1, ∞ に移す変換を用いる方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
「メビウス変換」の記事における「初期値を 0, 1, ∞ に移す変換を用いる方法」の解説
行列 H 1 = ( z 2 − z 3 − z 1 ( z 2 − z 3 ) z 2 − z 1 − z 3 ( z 2 − z 1 ) ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}} に対応するメビウス変換 f 1 ( z ) = ( z − z 1 ) ( z 2 − z 3 ) ( z − z 3 ) ( z 2 − z 1 ) {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}} が z1, z2, z3 をそれぞれ 0, 1, ∞ にそれぞれ写すことを確かめることは難しくない（zi の何れかが ∞ であるときは、それが ziなら上の式で全部の成分を先に zi で割っておいて zi → ∞ なる極限をとったものを H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}} として考える）。 同様に行列 H 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}} を w1, w2, w3 をそれぞれ 0, 1, ∞ に写すようにとり、行列 H = H 2 − 1 H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}} を考えれば、z1, z2, z3 をそれぞれ w1, w2, w3 に写すメビウス変換が得られる。
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