初期値の定理・最終値の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/05 23:19 UTC 版)
「ラプラス変換」の記事における「初期値の定理・最終値の定理」の解説
ラプラス変換の原関数の初期値（t = 0 での値）や最終値（t → ∞ における極限値）を表す初期値の定理 (initial value theorem) および最終値の定理 (final value theorem) と呼ばれる公式が以下のような式によって与えられる。 初期値の定理 t の関数 f (t) が t = 0 で連続ならば f ( 0 ) = lim t → 0 f ( t ) = lim s → ∞ s F ( s ) {\displaystyle f(0)=\lim _{t\rightarrow 0}f(t)=\lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)} が成り立つ。特に、f が微分可能なときは部分積分により容易に証明できる。 最終値の定理 t の関数 f (t) が t → ∞ で収束するなら f ( ∞ ) = lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) s ∈ Δ 0 {\displaystyle f(\infty )=\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{s\rightarrow 0}sF(s)\qquad s\in \Delta _{0}} が成り立つ。ただし、Δ0 は s > 0 を含む角領域である。
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