後の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/14 04:54 UTC 版)
アペリーの結果から一年も経たないうちに別の証明がFrits Beukers（英語版）によって見つかった。彼はアペリーの級数をずらしルジャンドル多項式 P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} を含む積分に置き換えた。後にHadjicostas's formula（英語版）へと一般化されることになる表現を用いて、ある整数 An と Bn （数列 A171484 および A171485）に対して ∫ 0 1 ∫ 0 1 − log ( x y ) 1 − x y P n ~ ( x ) P n ~ ( y ) d x d y = A n + B n ζ ( 3 ) lcm [ 1 , … , n ] 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)\,dxdy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {lcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}} となることを Beukers は示した。部分積分と、ζ(3) が有理数 a/b に等しいという仮定を用いて、Beukers は最終的に次の不等式を導出した： 0 < 1 b ≤ | A n + B n ζ ( 3 ) | ≤ 4 ( 4 5 ) n . {\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \left|A_{n}+B_{n}\zeta (3)\right|\leq 4\left({\frac {4}{5}}\right)^{n}.} 最右辺は 0 に収束するからいずれ 1/b を下回り、これは矛盾である。 Wadim Zudilin（英語版）によるより最近の証明はアペリーのオリジナルの証明をより思い起こさせるものであり、Yuri Nesterenko（英語版）による第四の証明とも類似している。後のこれらの証明は再びある正の定数以上であるのに 0 に収束する数列を構成することによって ζ(3) が有理数であるという仮定から矛盾を導く。超幾何級数を使っていて、それらは早期の証明よりもいくぶん分かりづらい。
※この「後の証明」の解説は、「アペリーの定理」の解説の一部です。
「後の証明」を含む「アペリーの定理」の記事については、「アペリーの定理」の概要を参照ください。
- 後の証明のページへのリンク
