直交関数系の完全性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/09 08:51 UTC 版)
詳細は「直交基底」を参照 任意の関数が、ある直交関数系で展開できるとき、この直交関数系を完全系と呼ぶ。 { 1 , cos x , cos 2 x , … , sin x , sin 2 x , … } {\displaystyle \{1,\cos x,\cos 2x,\dots ,\sin x,\sin 2x,\dots \}\ } は完全系である。よって、 − π ≤ x ≤ π {\displaystyle -\pi \leq x\leq \pi } の範囲における任意の関数をこの線形結合で表せる。 球面調和関数やルジャンドル多項式も、以下の直交関係を満たす完全系である。 ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m ( θ , φ ) Y ℓ ′ m ′ ∗ ( θ , φ ) sin θ d θ d φ = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}} ∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ m n {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}} 他の完全系の例としては、エルミート多項式、ラゲール多項式、ゲーゲンバウアー多項式、ベッセル関数などがある。
※この「直交関数系の完全性」の解説は、「完全系」の解説の一部です。
「直交関数系の完全性」を含む「完全系」の記事については、「完全系」の概要を参照ください。
- 直交関数系の完全性のページへのリンク
