直交関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/26 17:47 UTC 版)
詳細は「シューアの直交関係式（英語版）」を参照 有限群 G の複素数値類関数の空間は自然な内積を持つ： ⟨ α , β ⟩ := 1 | G | ∑ g ∈ G α ( g ) β ( g ) ¯ {\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}} ただし β(g) は β(g) の複素共役である。この内積に関して、既約指標は類関数の空間の正規直交基底をなし、これは指標表の行の直交関係を生む： ⟨ χ i , χ j ⟩ = { 0 if i ≠ j , 1 if i = j . {\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\1&{\text{ if }}i=j.\end{cases}}} G の元 g, h に対して、列の直交関係は次のようである： ∑ χ i χ i ( g ) χ i ( h ) ¯ = { | C G ( g ) | , if g , h are conjugate 0 otherwise. {\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\text{ if }}g,h{\text{ are conjugate }}\\0&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}} ただし和は G の既約指標 χi 全体を渡り、記号 |CG(g)| は g の中心化群の位数を表す。 直交関係式は以下を含む多くの計算の助けとなる： 未知の指標を既約指標の線型結合として分解する。 既約指標のいくつかしか分かっていないときに完全な指標表をつくる。 群の共役類の代表元の中心化群の位数を求める。 群の位数を求める。
※この「直交関係式」の解説は、「指標理論」の解説の一部です。
「直交関係式」を含む「指標理論」の記事については、「指標理論」の概要を参照ください。
- 直交関係式のページへのリンク
