直交関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/11/27 22:14 UTC 版)
または に対して以下の直交関係を満たす: 但し、 はポッホハマーの記号を表す。
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直交関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/29 04:57 UTC 版)
α , β < − 1 {\displaystyle \alpha ,\beta <-1} または α , β < − N {\displaystyle \alpha ,\beta <-N} に対して以下の直交関係を満たす: ∑ x = 0 N ( α + x x ) ( β + N − x N − x ) Q m ( x ; α , β , N ) Q n ( x ; α , β , N ) = ( − 1 ) n ( n + α + β + 1 ) N + 1 ( β + 1 ) n n ! ( 2 n + α + β + 1 ) ( α + 1 ) n ( − N ) n N ! δ m n . {\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-x}{N-x}}Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(-1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}n!}{(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}(-N)_{n}N!}}\delta _{mn}.} 但し、 ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} はポッホハマーの記号を表す。
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直交関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/03 23:08 UTC 版)
「クレブシュ–ゴルダン係数」の記事における「直交関係」の解説
これらのことは、代わりの表現を導入することで簡潔に書ける。 ⟨ J M | j 1 m 1 j 2 m 2 ⟩ ≡ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ {\displaystyle \langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle } 第一の直交関係は ∑ J = | j 1 − j 2 | j 1 + j 2 ∑ M = − J J ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ ⟨ J M | j 1 m 1 ′ j 2 m 2 ′ ⟩ = ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 1 m 1 ′ j 2 m 2 ′ ⟩ = δ m 1 , m 1 ′ δ m 2 , m 2 ′ {\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle JM|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}} (完全性関係 1 ≡ ∑ x | x ⟩ ⟨ x | {\displaystyle 1\equiv \sum _{x}|x\rangle \langle x|} を用いた ) 第二の直交関係は ∑ m 1 m 2 ⟨ J M | j 1 m 1 j 2 m 2 ⟩ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J ′ M ′ ⟩ = ⟨ J M | J ′ M ′ ⟩ = δ J , J ′ δ M , M ′ {\displaystyle \sum _{m_{1}m_{2}}\langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|J'M'\rangle =\langle JM|J'M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}}
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直交関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 15:02 UTC 版)
ウィグナーのD行列の要素 D m k j ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )} は、オイラー角α, β, γの直交関数群を成す。 ∫ 0 2 π d α ∫ 0 π d β sin β ∫ 0 2 π d γ D m ′ k ′ j ′ ( α , β , γ ) ∗ D m k j ( α , β , γ ) = 8 π 2 2 j + 1 δ m ′ m δ k ′ k δ j ′ j {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }d\beta \sin \beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,\,D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2j+1}}\delta _{m'm}\delta _{k'k}\delta _{j'j}} これはシューアの直交関係の特殊例である。 ピーター・ワイルの定理（英語版）により、これらは完全系を成すことが重要である。 D m k j ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )} がある球面基底 | l m ⟩ {\displaystyle |lm\rangle } を別の球面基底 R ( α , β , γ ) | l m ⟩ {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|lm\rangle } に移すユニタリ変換であることをあらわす、次の関係式が成り立つ。 ∑ k D m ′ k j ( α , β , γ ) ∗ D m k j ( α , β , γ ) = δ m , m ′ , {\displaystyle \sum _{k}D_{m'k}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'},} ∑ k D k m ′ j ( α , β , γ ) ∗ D k m j ( α , β , γ ) = δ m , m ′ {\displaystyle \sum _{k}D_{km'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{km}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'}} SU(2)の指標は回転角βのみに依存する類関数であることから、回転軸に依存せず次式がなりたつ。 χ j ( β ) ≡ ∑ m D m m j ( β ) = ∑ m d m m j ( β ) = sin ( ( 2 j + 1 ) β 2 ) sin ( β 2 ) {\displaystyle \chi ^{j}(\beta )\equiv \sum _{m}D_{mm}^{j}(\beta )=\sum _{m}d_{mm}^{j}(\beta )={\frac {\sin \left({\frac {(2j+1)\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)}}} このため、群のハール測度を通じてより単純な以下の直交関係がなりたつ。 1 π ∫ 0 2 π d β sin 2 ( β 2 ) χ j ( β ) χ j ′ ( β ) = δ j ′ j {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\beta \sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j'}(\beta )=\delta _{j'j}} また、以下の完全性関係式もなりたつ。 ∑ j χ j ( β ) χ j ( β ′ ) = δ ( β − β ′ ) {\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j}(\beta ')=\delta (\beta -\beta ')} したがって、β′ = 0 のとき以下がなりたつ。 ∑ j χ j ( β ) ( 2 j + 1 ) = δ ( β ) {\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )(2j+1)=\delta (\beta )}
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