ポッホハマー記号とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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ポッホハマー記号

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/06 19:06 UTC 版)

解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、英: Pochhammer symbol）はレオ・オーギュスト・ポッホハマー（英語版）の名に因む特殊函数^{[* 1]}で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。

同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。

ポッホハマー記号 $(x, n)$ は複素変数 $x$ に関して有理型函数である。
任意の自然数 $n \in N$ に対して $(x, n)$ は $x$ の多項式であり、 $x = 0$ を共通根に持つ。
変数 $x$ の符号を反転するとき

$(-z,n)=(-1)^{n}(z-n+1,\,n).$
径数 $n$ の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:

$(x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}.$
$(z,\,n+m)=(z,n)(z+n,\,m)$
商の法則:

${\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\begin{cases}(x+m,\,n-m)&(n>m),\\[5pt]{\dfrac {1}{(x+m,\,m-n)}}&(m>n).\end{cases}}$
特殊値:

$(1,n)=n!\quad (n\in \mathbb {N} ).$

$(1/2,n)=2^{-n}(2n-1)!!\quad (n\in \mathbb {N} ).$
二項係数との間に以下の関係がある:

${z \choose n}={\frac {(-z)_{n}}{n!}}.$

ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、

ニュートンの二項級数:

$(1-z)^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-a)_{k}}{k!}}\,z^{k}\qquad (|z|<1).$
超幾何函数:

${}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}a,b\\[-3pt]c\end{matrix}}\;;\;z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}}}\,z^{k}.$

詳細は「qポッホハマー記号」を参照

ポッホハマー記号の $q$ -類似に $q$ -ポッホハマー記号がある。これは

(a;q)_{0}:=1,\quad (a;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})

で定義される。

詳細は「一般化ポッホハマー記号（英語版）」を参照

多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:

(a)_{\kappa }^{(\alpha )}:=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{\kappa _{i}}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+j-1\right)\quad (\kappa =\kappa _{1}+\kappa _{2}+\dotsb +\kappa _{m},\,\alpha >0).

^ ポッホハマー自身は $(x) n$ を二項係数に用い、降冪は $[x] n$ 、昇冪は $[x] + n$ で表した。(Pochhammer 1888, pp. 80–81)
^ Weisstein, Eric W. "Rising Power". MathWorld (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Falling Power". MathWorld (英語).
^ それほど一般的ではないが昇冪を $(x) + n$ と書くこともある。このとき混乱を避けるため、降冪は $(x) - n$ と書いて区別するのが典型的である。(Knuth 1992, p. 414)