ユークリッド空間における体積要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 00:26 UTC 版)
「体積要素」の記事における「ユークリッド空間における体積要素」の解説
ユークリッド空間においては、体積要素はデカルト座標に沿った微分の積により与えられる。 d V = d x d y d z {\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z} 他の座標系においては、x = x(u1, u2, u3), y = y(u1, u2, u3), z = z(u1, u2, u3) とするとヤコビ行列を用いて体積要素を以下のように計算できる。 d V = | ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u 1 , u 2 , u 3 ) | d u 1 d u 2 d u 3 {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}} たとえば、球面座標系では x = ρ cos θ sin ϕ y = ρ sin θ sin ϕ z = ρ cos ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}} であるからヤコビアンは | ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , ϕ ) | = ρ 2 sin ϕ {\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi } となり、したがって体積要素は以下のように書ける。 d V = ρ 2 sin ϕ d ρ d θ d ϕ . {\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .} このことは微分形式が引き戻し（英語版） F* により以下のように変換することの例と見ることができる。 F ∗ ( u d y 1 ∧ ⋯ ∧ d y n ) = ( u ∘ F ) det ( ∂ F j ∂ x i ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle F^{*}(u\;\mathrm {d} y^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} y^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
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