相空間
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/17 07:35 UTC 版)
力学系理論における相空間（そうくうかん、英: phase space）は、対象のシステムが取る状態全てから成る抽象的な空間である[1][2]。状態空間（じょうたいくうかん、英: state space）ともいう[3][2][4]。
物理学分野の解析力学（とくにハミルトン力学）では相空間と同種のものが、位置と運動量を座標した空間という狭い意味で用いられており、位相空間とも呼ばれる。数学分野では普通は topological space の意味で「位相空間」という用語を使うことから、混乱のおそれがあるときや数学分野では phase space の意を指すために「相空間」を使う。
背景と用語
力学系とは、システム（系）の将来の状態が現在の状態から一意に決まる決定論的な過程を、数学的に定式化したものを指す[5]。相空間 X とは、力学系の基本構成要素の一つで、対象のシステムが取り得る状態全てを集めてできる集合である[6][5]。さらに、現在の状態から次の状態を定める決定論的法則 F と時間 T の2つを加えて、(X, F, T) の一組で力学系が成立する[6][5]。相空間というものを導入することによって、空間上の1点を指定する形でシステムの状態を議論できるようになる[7]。すなわち相空間とは、システムの状態の振る舞いを解析するときに、そのシステムの状態は空間上でどんな動きをするのかという視点に切り替える概念的道具といえる[8]。
通常、系の状態はいくつかの変数で表される[9]。これらの変数は状態変数などと呼ばれる[9][4]。例えば、力学系の例として、長さ一定で空気抵抗やその他外部からの影響を排した単振り子の運動を考える。このシステムの状態は振れ角 θ とその角速度 ω で一意に決まるので、(θ, ω) が状態を表す変数である[10]。そして、θ と ω の組全体から成る抽象的な空間（θ と ω を座標とする平面）を考えると、それがこのシステムの相空間である[6][11]。相空間を構成する一つひとつの要素は、単に点と呼ばれる[12][13][11]ほかに、相[10][14]、相点[15][10]、位相[1][14]、位相点[16][9]、代表点[16][17]、状態[4]などと呼ばれる。
相空間上の点は、時間変化によって相空間内を動く。相空間上を点が動いてできる経路は軌道と呼ばれる[9]。時間を連続的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上で連続的な曲線を描く[18]。一方、時間を離散的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上でとびとびの点列となる[18]。決定論的に状態が定まるという要請により、相空間における2つの異なる軌道が交わることはない[19]。ある力学系の全軌道の概略を相空間上に示した図を、相図（英: phase portrait）という[20][21]。
力学系の従属変数の個数すなわち相空間の座標の数は、相空間または力学系の次元と呼ばれる[22][23][24]。特に相空間は、状態変数が実数1つ（R1）のときには相直線と、状態変数が実数2つ（R2）のときには相平面と呼ばれることもある[25]。ポアンカレ・ベンディクソンの定理に代表されるように、相空間の次元と形状は軌道の形状に制限を与える[26]。一般的に、系が非線形でなおかつ高次元になるほど系の取り扱いが難しくなる[27]。状態の空間的に連続的に分布している偏微分方程式で記述されるような力学系では、相空間の次元は無限になる[28][29]。
種類
一般的なレベルでの力学系（とくに位相力学系）では、相空間を位相空間（英: topological space）として設定する[30][31][32]。ただし、相空間をまったく純粋な位相空間に設定すると、あまり詳しい結果は得られない[33]。実際には、位相空間であることに加え、いくつかの前提（例えば距離空間であること）を相空間に持たせて議論される[34]。特に相空間がコンパクトであると仮定できれば、位相力学系に関する多くの結果を得ることができ、一般的な枠組みを議論できる[35][36]。
力学系の例として多いのは、システムの状態がいくつかの実数の組 (x1, x2, … xn) で表される場合で、空間としてはユークリッド空間 Rn あるいはその部分集合で考えられることが多い[24][37][12]。力学系の軌道は特定の多様体上に制限されていることもあり、より一般的には相空間は多様体となる[24][38][39]。多様体に制限することで、それぞれの多様体が持つトポロジカルな性質を利用することもできる[40]。上記の単振り子の例でいえば、角速度 ω は単に実数だが、振れ角 θ の定義域は −π < θ ≤ π であり、これは幾何学的には円周と同一視できる[41][42][6]。したがって、単振り子の系の相空間は、円周 S1 または T1 と直線 R の直積集合で、幾何学的には無限に長い円柱面となる[43][41][42][6]。ただし、いくつかの注意を払えば、相空間を Rn あるいはその部分集合と仮定しても多くの場合で一般性は失われない[24][44]。
可微分力学系では相空間は微分構造を持ち、ベクトル場で定まる連続力学系がその典型例である[45]。状態変数を x = (x1, x2, … xn) ∈ X ⊂ Rn、時間を t ∈ R とする。力学系が n 連立一階微分方程式
- 相空間 - J-GLOBAL
- Phase space - Encyclopedia of Mathematics
- Phase space - MathWorld
- State space - Scholarpedia
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