代数拡大における分離拡大
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/16 08:54 UTC 版)
「分離拡大」の記事における「代数拡大における分離拡大」の解説
分離拡大は任意の代数体拡大において極めて自然に生じる。より具体的には、E ⊃ F が代数拡大で S = { α ∈ E | α is separable over F } {\displaystyle S=\{\alpha \in E|\alpha {\mbox{ is separable over }}F\}} であれば、S は F 上分離的で E が純非分離な唯一の中間体である。E ⊃ F が有限次拡大であれば、次数 [S : F] は拡大 E ⊃ F の次数の分離部分 (separable part)（あるいは E/F の分離次数 (separable degree)）と呼ばれ、しばしば [E : F]sep あるいは [E : F]s と表記される。E/F の非分離次数 (inseparable degree) は次数の分離次数による商である。F の標数が p > 0 であるときは、p のベキである。拡大 E ⊃ F が分離的であることと S = E であることは同値であるので、分離拡大に対しては [E : F]=[E : F]sep であり、逆も成り立つ。E ⊃ F が分離的でなければ（すなわち非分離であれば）[E : F]sep は [E : F] の非自明な約数である必要があり商は F の標数のベキである必要がある。 一方で、任意の代数拡大 E ⊃ F は F 上純非分離で E が分離であるような中間拡大 K をもたないかもしれない（しかしながら、そのような中間拡大は E ⊃ F が有限次正規拡大のとき確かに存在する（このとき K は F 上の E のガロワ群の固定体にとることができる））。そのような中間拡大が存在するならば、そして [E : F] が有限であれば、そして S が前の段落でのように定義されていれば、[E : F]sep=[S : F]=[E : K]。この結果の1つの有名な証明は原始元定理に依存するが、原始元定理とは独立なこの結果の証明は確かに存在する（どちらの証明も次の事実を用いる。K ⊃ F が純非分離拡大で f ∈ F[X] が分離既約多項式であれば、f は K[X] においても既約である。）。上記の等式（[E : F]sep=[S : F]=[E : K]）は次のことを証明するのに使える。E ⊃ U ⊃ F が [E : F] が有限であるようなものであれば、[E : F]sep=[E : U]sep[U : F]sep。 F が任意の体であれば、F の分離閉包 (separable closure) Fsep は F 上分離的な F の代数閉包の元全部からなる体である。これは F の極大ガロワ拡大である。定義によって、F が完全であることとその分離閉包と代数閉包が一致することは同値である（とくに、分離閉包の概念は不完全体に対してのみ興味がある）。
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