複素の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 14:45 UTC 版)
「ストーン＝ワイエルシュトラスの定理」の記事における「複素の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理」の解説
コンパクトハウスドルフ空間上の複素数値連続関数のなす環についても部分環の稠密性を導く同様の定理が知られている。 X をコンパクトハウスドルフ空間とし、A をX 上の複素数値連続関数環 C(X,C) の部分環で定数関数をふくむものとする。Aが複素共役について閉じており、X の各点を分離するならば A は C(X,C) の sup-ノルムに関して稠密である。 この定理は実の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理と同値になる。実際、上のように A が複素共役について閉じたC(X,C) の部分環であるとき、Aの任意の元の実部は再び A に属するし、C(X, R) の部分環 B がX の各点を分離するならば A = B + i B は上の条件を満たすからである。
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