計算法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 19:21 UTC 版)
z, w を複素数とする。以下の性質が成り立つ。 z {\displaystyle z} が実数 ⇔ z ¯ = z {\displaystyle {\overline {z}}=z} z {\displaystyle z} が純虚数 ⇔ z ¯ = − z ≠ 0 {\displaystyle {\overline {z}}=-z\neq 0} z + w ¯ = z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}} z − w ¯ = z ¯ − w ¯ {\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}} z w ¯ = z ¯ ⋅ w ¯ {\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}} ( z w ) ¯ = z ¯ w ¯ ( w ≠ 0 ) {\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}\ (w\neq 0)} z n ¯ = ( z ¯ ) n {\displaystyle {\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}} （n は整数） 上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。 z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z} （対合） | z | = | z ¯ | {\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|} z z ¯ = | z | 2 {\displaystyle z{\overline {z}}=|z|^{2}} z + z ¯ = 2 Re z {\displaystyle z+{\overline {z}}=2\,\operatorname {Re} z} z − z ¯ = 2 i Im z {\displaystyle z-{\overline {z}}=2i\,\operatorname {Im} z} 1 z = z ¯ | z | 2 ( z ≠ 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)} 逆数は、絶対値と共役で表せる。
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