計算法の一例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/22 00:42 UTC 版)
「最小多項式 (線型代数学)」の記事における「計算法の一例」の解説
体 F 上のベクトル空間 V とその線型変換 T および V の元 v に対して、 I T , v = { p ∈ F [ t ] ∣ v ∈ Ker p ( T ) } = { p ∈ F [ t ] ∣ p ( T ) ( v ) = 0 } {\displaystyle I_{T,v}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid v\in \operatorname {Ker} p(T)\}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid p(T)(v)=0\}} と定義する。これは、F[t] の自明でないイデアルとなる。 μ T , v {\displaystyle \mu _{T,v}} を、このイデアルを生成するモニック多項式とする。 この多項式は次の性質を満たす。 I T , v {\displaystyle I_{T,v}} は I T {\displaystyle I_{T}} を含む。 d {\displaystyle d} を、 v , T ( v ) , … , T d ( v ) {\displaystyle v,T(v),\ldots ,T^{d}(v)} が線型独立となるような最大の自然数とする。このとき、 ある α 0 , α 1 , … , α n ∈ F {\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbf {F} } が存在して、 α 0 v + α 1 T ( v ) + ⋯ + α n T d ( v ) + T d + 1 ( v ) = 0 {\displaystyle \alpha _{0}v+\alpha _{1}T(v)+\dotsb +\alpha _{n}T^{d}(v)+T^{d+1}(v)=0} が成り立ち、さらに μ T , v ( t ) = α 0 + α 1 t + ⋯ + α n t d + t d + 1 {\displaystyle \mu _{T,v}(t)=\alpha _{0}+\alpha _{1}t+\dotsb +\alpha _{n}t^{d}+t^{d+1}} となる。 V の1つの基底 (v1, …, vn) を取ったとき、T の最小多項式は、すべての μ T , v i {\displaystyle \mu _{T,v_{i}}} たちの公約元である。
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