偏微分の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
p {\displaystyle {\textbf {p}}} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とし、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} のベクトルとする（ p {\displaystyle {\textbf {p}}} は p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} でなければならないが a {\displaystyle {\textbf {a}}} は a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} であってよい）。 p {\displaystyle {\textbf {p}}} , a {\displaystyle {\textbf {a}}} は固定されているものとする。 このとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であるとは、以下の極限値 lim t → 0 f ( p + t a ) − f ( p ) t {\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}} (1-4) が存在することを意味する。 このとき f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分商、 ∂ [ a ] f | [ p ] {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}} を、以下のように定義する。 ∂ [ a ] f | [ p ] = lim t → 0 f ( p + t a ) − f ( p ) t {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}\ =\ {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}} (1-5)
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