偏微分の「方向」に関する公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
「多変数の微分」の記事における「偏微分の「方向」に関する公式」の解説
式 (2-8) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} において R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} , b {\displaystyle {\textbf {b}}} と、任意の実数 λ , μ {\displaystyle \lambda ,\mu } に対して、 ∂ [ λ a + μ b ] f | [ x ] = λ ( ∂ [ a ] f | [ x ] ) + μ ( ∂ [ b ] f | [ x ] ) {\displaystyle {\left.\partial _{\left[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} \right]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)} (3-1) が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、 ∂ [ λ a + μ b ] f | [ p ] = ( J f ) [ p ] ( λ a + μ b ) = λ ( J f ) [ p ] ( a ) + μ ( J f ) [ p ] ( b ) = λ ( ∂ [ a ] f | [ p ] ) + μ ( ∂ [ b ] f | [ p ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} )&=\lambda {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {a} )+\mu {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {b} )&=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)\end{aligned}}} (3-2) である。 また、(2-8) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して、 ∂ [ a ] f | [ p ] = ( J f ) [ p ] a = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋱ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) ( a 1 ⋮ a n ) = ∑ j = 1 n a i ( ∂ f ∂ x j | p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}\mathbf {a} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\ddots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\\\end{matrix}}\right)\\&=\sum \limits _{j=1}^{n}a_{i}\left({\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{\mathbf {p} }\right)\end{aligned}}} (3-3) が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。
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