間違った証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 18:03 UTC 版)
微分の定義より ( f ∘ g ) ′ ( a ) = lim x → a ( f ∘ g ) ( x ) − ( f ∘ g ) ( a ) x − a = lim x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) x − a = lim x → a [ f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) ⋅ g ( x ) − g ( a ) x − a ] = lim x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) ⋅ lim x → a g ( x ) − g ( a ) x − a = f ′ ( g ( a ) ) ⋅ g ′ ( a ) {\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)'(a)~&=\lim _{x\rightarrow a}{(f\circ g)(x)-(f\circ g)(a) \over x-a}\\&=\lim _{x\rightarrow a}{f(g(x))-f(g(a)) \over x-a}\\&=\lim _{x\rightarrow a}\left[{f(g(x))-f(g(a)) \over g(x)-g(a)}\cdot {g(x)-g(a) \over x-a}\right]\\&=\lim _{x\rightarrow a}{f(g(x))-f(g(a)) \over g(x)-g(a)}\cdot \lim _{x\rightarrow a}{g(x)-g(a) \over x-a}\\&=f'(g(a))\cdot g'(a)\end{aligned}}} となる。これは一見正しそうに見えるかもしれないが、 a {\displaystyle a} のどれだけ近いところにも g ( x ) = g ( a ) {\displaystyle g(x)=g(a)} となる x {\displaystyle x} が存在する場合（例えば g ( x ) {\displaystyle g(x)} が定数関数の場合）には、0除算が含まれるため、この証明は誤りである。
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