1−2 4−8 …

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1−2+4−8+…

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/20 13:42 UTC 版)

数学において、1 − 2 + 4 − 8 + ...は項が連続する2の冪で符号が交互に繰りかえす無限級数である。等比数列としては、初項 1 と公比 -2 で特徴付けられる。

$\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}$

Excerpt from the Institutiones

オイラー変換は、正の項からなる数列から始める。

a₀ = 1,

a₁ = 2,

a₂ = 4,

a₃ = 8, ... .

すると差分の列は

Δa₀ = a₁ − a₀ = 2 − 1 = 1,

Δa₁ = a₂ − a₁ = 4 − 2 = 2,

Δa₂ = a₃ − a₂ = 8 − 4 = 4,

Δa₃ = a₄ − a₃ = 16 − 8 = 8, ...,

となり、全く同じ列である。したがって差分をとることを繰り返した列はどれもすべての n に対して Δⁿa₀ = 1 で始まる。そのオイラー変換は以下の級数である。

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}$