1の余弦
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/02 08:49 UTC 版)
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1の余弦（いちのよげん、英語: cos1rad[1]）とは、実数の範囲で次の値をとる数のことである。
cos1rad = 0.5403023058…
一般にcos1radは無理数かつ超越数であることが知られている。
証明
例えば有名な題意として、「tan1°は無理数である」という題意が存在する。この題意は、高校数学における三角関数の加法定理を用いることで、背理法により証明することができる。
cos1radが無理数であることの証明をするにあたり、補題1-1を考える。
- 補題1-1「cos1°は無理数である」
この補題も、三角関数の公式を用いることで証明可能となる。
チェビシェフの多項式を考えると、cosのn倍角は、cosのみの多項式で表すことが出来る。
和積公式「cos（n+2）θ+cosnθ = 2cos（n+1）θcosθ」を用いて、cos1°が有理数であると仮定すると、cosの30倍角を導く式により、「cos30°=√3/2」となり矛盾。よって補題1-1は示された。
次に、cos1radの導出方法について考える。
1radは弧度法表記で1ラジアン、即ち約57.295791°である。
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