S (x )C (x )C (x ) の最大値は約 0.977451424。t 2 の代わりに 1 / 2 t 2 を使うと、図は水平および垂直方向に縮小される（下図）
フレネル積分 （フレネルせきぶん、英 : Fresnel integrals ）とは、オーギュスタン・ジャン・フレネル の名を冠した2つの超越関数 S (x ) と C (x ) であり、光学 で使われている。近接場 のフレネル回折 現象を説明する際に現れ、以下のような積分 で定義される。
S
(
x
)
=
∫
0
x
sin
(
t
2
)
d
t
,
C
(
x
)
=
∫
0
x
cos
(
t
2
)
d
t
{\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt}
正規化したフレネル積分 S (x )C (x )t 2 ではなく、
1 / 2 t 2 にしている。
フレネル積分は、全ての x について収束する次の冪級数 展開式で表せる。
S
(
x
)
=
∫
0
x
sin
(
t
2
)
d
t
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
4
n
+
3
(
4
n
+
3
)
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}}
オイラーの螺旋 (x , y ) = (C (t ), S (t ))。t が正および負の無限大に近づくと、曲線は2つの穴の中心に収束していく。
オイラーの螺旋 は、コルニュ螺旋 またはクロソイド とも呼ばれ、S (t ) と C (t ) をパラメトリックにプロットした曲線である。コルニュ螺旋はマリー・アルフレッド・コルニュ が回折の計算用にノモグラム として考案したものである。
ここで、
C
′
(
t
)
2
+
S
′
(
t
)
2
=
sin
2
(
t
2
)
+
cos
2
(
t
2
)
=
1
{\displaystyle C'(t)^{2}+S'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1\,}
扇形の輪郭線を使い、フレネル積分の極限を計算する。
引数が無限大に漸近したときの C と S の極限は、複素解析 の手法で求められる。それには、正のx 軸、半直線 y = x , x ≥ 0、原点を中心とした半径 R の円で囲まれた複素平面 での扇形 の領域の境界線に沿って、次の関数の扇形積分を使う。
∮
d
z
e
i
z
2
=
0
{\displaystyle \oint \mathrm {d} z~e^{iz^{2}}=0}
