外積の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 07:35 UTC 版)
外積代数の詳細は当該項目に譲るとして、ここでは計算規則だけ述べる。微分 1 形式の順序を入れ替えると符号が反転する。 d x a ∧ d x b = − d x b ∧ d x a {\displaystyle \mathrm {d} x_{a}\wedge \mathrm {d} x_{b}=-\mathrm {d} x_{b}\wedge \mathrm {d} x_{a}} （交代性） この性質から特に同じ 1 次微分形式の積は 0 である。 d x a ∧ d x a = 0 {\displaystyle \mathrm {d} x_{a}\wedge \mathrm {d} x_{a}=0} もっと一般に、 d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = s g n ( σ ) d x σ ( i 1 ) ∧ ⋯ ∧ d x σ ( i k ) {\displaystyle \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}=\mathrm {sgn} (\sigma )\mathrm {d} x_{\sigma (i_{1})}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{\sigma (i_{k})}} である。ここで、 σ は置換であり、 sgn(σ) は置換 σ の符号である。 i1, … ik を並べ替えたときに、それが奇置換なら符号は負になるということである。 したがって、次数の高い微分形式でも同じ微分 1 形式を含んでいたら 0 になる。 d x 1 ∧ d x 3 ∧ d x 4 ∧ d x 1 = 0 {\displaystyle \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{3}\wedge \mathrm {d} x_{4}\wedge \mathrm {d} x_{1}=0} 関数 f については、どの微分 1 形式の係数と考えても良く f d x a ∧ d x b = ( f d x a ) ∧ d x b = d x a ∧ ( f d x b ) {\displaystyle f\mathrm {d} x_{a}\wedge \mathrm {d} x_{b}=(f\mathrm {d} x_{a})\wedge \mathrm {d} x_{b}=\mathrm {d} x_{a}\wedge (f\mathrm {d} x_{b})} などが成り立つ。 微分 k 形式 ξ と微分 l 形式 η の外積 ξ ∧ η は、微分 k + l 形式となり、交代性から ξ ∧ η = ( − 1 ) k l η ∧ ξ {\displaystyle \xi \wedge \eta =(-1)^{kl}\eta \wedge \xi } となることが分かる。 特に、k が奇数の時は ξ ∧ ξ = − ξ ∧ ξ {\displaystyle \xi \wedge \xi =-\xi \wedge \xi } となり ξ ∧ ξ = 0 {\displaystyle \xi \wedge \xi =0} が導かれる。これは、 同じ微分 1 形式の外積が 0 になるという事実の一般化である。偶数次の微分形式の時は 0 になるとは限らない。 また、和と積を組み合わせた演算では分配法則 ( f 1 d x 1 + f 2 d x 2 ) ∧ ( f 3 d x 3 + f 4 d x 4 ) = f 1 f 3 d x 1 ∧ d x 3 + f 1 f 4 d x 1 ∧ d x 4 + f 2 f 3 d x 2 ∧ d x 3 + f 2 f 4 d x 2 ∧ d x 4 {\displaystyle (f_{1}\mathrm {d} x_{1}+f_{2}\mathrm {d} x_{2})\wedge (f_{3}\mathrm {d} x_{3}+f_{4}\mathrm {d} x_{4})=f_{1}f_{3}\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{3}+f_{1}f_{4}\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{4}+f_{2}f_{3}\mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{3}+f_{2}f_{4}\mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{4}} などが成り立つ。
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