外積代数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)
「クリフォード代数」の記事における「外積代数との関係」の解説
ベクトル空間 V が与えられると外積代数 ⋀(V) を構成でき、その次元は V 上のどんな二次形式からも独立である。K が標数 2 でなければ ⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間にベクトル空間として考えて自然な同型が存在する（そして標数が 2 でない場合には自然でないかもしれない同型が存在する）ということが判明する。これが代数同型であることと Q = 0 は同値である。したがってクリフォード代数 Cℓ(V, Q) を Q に依存した積で V 上の外積代数を豊かにしたもの（あるいはより正確には、量子化、 cf. 導入）と考えることができる（外積はなお Q とは独立に定義できる）。 同型を確立する最も易しい方法は V の直交基底 {ei} をとりそれを上で述べられたように Cℓ(V, Q) の基底に拡張することである。写像 Cℓ(V, Q) → ⋀(V) は e i 1 e i 2 ⋯ e i k ↦ e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k {\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}} によって決定される。これは基底 {ei} が直交しているときにのみうまくいくことに注意しよう。この写像は直交基底の選択とは独立であり従って自然同型を与えることを示すことができる。 K の標数が 0 であれば、反対称化によっても同型を確立できる。関数 fk: V × ⋯ × V → Cℓ(V, Q) を f k ( v 1 , ⋯ , v k ) = 1 k ! ∑ σ ∈ S k s g n ( σ ) v σ ( 1 ) ⋯ v σ ( k ) {\displaystyle f_{k}(v_{1},\cdots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}} によって定義する、ただし和は k 個の元の上の置換群を渡って取られる。fk は交代形式（英語版）なのでそれは一意的な線型写像 ⋀k(V) → Cℓ(V, Q) を誘導する。これらの写像の直和は ⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間の線型写像を与える。この写像は線型同型であることを示すことができ、それは自然である。 関係を見るより洗練された方法は Cℓ(V, Q) 上フィルトレーション（英語版）を構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう： F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ ⋯、ただし Fk は k-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで Cℓ(V, Q) 上のフィルトレーションが得られる。伴う次数代数 Gr F C ℓ ( V , Q ) = ⨁ k F k / F k − 1 {\displaystyle \operatorname {Gr} \nolimits _{F}C\ell (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}} は自然に外積代数 ⋀(V) に同型である。フィルター代数の伴う次数代数は（すべての k に対してFk のコンポーネントを Fk+1 の中に選ぶことによって）つねにフィルターベクトル空間としてフィルター代数に同型であるから、これは任意の標数において、2 でさえも、（自然なものではないが）同型を提供する。
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外積代数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/11 19:34 UTC 版)
余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。V を n次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる： V × ∧ n − 1 V → ∧ n V {\displaystyle V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V} ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす： ϕ : V → ≅ Hom ( ∧ n − 1 V , ∧ n V ) {\displaystyle \phi \colon V\ \xrightarrow {\cong } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)} 明示すると、この対は、v ∈ V を ϕ v {\displaystyle \phi _{\boldsymbol {v}}} に写す： ϕ v ( α ) = v ∧ α ( α ∈ ∧ n − 1 V ) {\displaystyle \phi _{\boldsymbol {v}}(\alpha )={\boldsymbol {v}}\wedge \alpha \qquad (\alpha \in \wedge ^{n-1}V)} T : V → V を線形変換とする。T の(n − 1)次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき T の余因子変換は次の合成で定義される： V → ϕ Hom ( ∧ n − 1 V , ∧ n V ) → ( ∧ n − 1 T ) ∗ Hom ( ∧ n − 1 V , ∧ n V ) → ϕ − 1 V {\displaystyle V\ \xrightarrow {\phi } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}} \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {\phi ^{-1}} \ V} V = Rn に 基底 (e1, …, en) が与えられていて、T のこの基底に関する表現行列は A であるとき、T の余因子変換は A の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、 ∧ n − 1 R n {\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n}} の基底を取る： { e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ k ∧ ⋯ ∧ e n } k = 1 n {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\}_{k=1}^{n}} Rn の基底元 ei を固定する。ei の ϕ {\displaystyle \phi } による像は、 ∧ n − 1 R n {\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n}} の基底ベクトルの移る先を決定する： ϕ e i ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ k ∧ ⋯ ∧ e n ) = { ( − 1 ) i − 1 e 1 ∧ ⋯ ∧ e n , if k = i , 0 otherwise. {\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} この基底で、T の (n − 1)次外冪 ( ∧ n − 1 T ) ∗ {\displaystyle (\wedge ^{n-1}T)^{*}} は次のように表せる： e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ j ∧ ⋯ ∧ e n ↦ ∑ k = 1 n ( det A j k ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ k ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\,{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}} これらのそれぞれの項の ϕ e i {\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}} による像は、k = i の項を除いて 0 になる。それ故、 ϕ e i {\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}} の引き戻しは次の線形写像になる： e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ j ∧ ⋯ ∧ e n ↦ ( − 1 ) i − 1 ( det A j i ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}} これは次に等しくなる： ∑ j = 1 n ( − 1 ) i + j ( det A j i ) ϕ e j {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{{\boldsymbol {e}}_{j}}} ϕ {\displaystyle \phi } の逆写像を適用することより、T の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる： e i ↦ ∑ j = 1 n ( − 1 ) i + j ( det A j i ) e j {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\mapsto \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{j}} 故に、その表現行列は A の余因子行列である。 V に内積と体積形式が与えられていたら、この写像 φ はさらに分解される。この場合、φ はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、ω が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす： ω ∨ : ∧ n V → R {\displaystyle \omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbb {R} } これは同型写像を引き起こす： Hom ( ∧ n − 1 R n , ∧ n R n ) ≅ ∧ n − 1 ( R n ) ∨ {\displaystyle \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbb {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }} v ∈ Rn は次の線型汎函数に一致する： ( α ↦ ω ∨ ( v ∧ α ) ) ∈ ∧ n − 1 ( R n ) ∨ {\displaystyle (\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }} ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は *v と双対である。つまり、ω∨ ∘ φ は v ↦ *v∨ と見なせる。
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