超幾何ガウシアンモード
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/17 10:14 UTC 版)
「ガウシアンビーム」の記事における「超幾何ガウシアンモード」の解説
近軸モードには、他にも極座標系において複素振幅が合流型超幾何関数（英語版）に比例する一連のモードがある。 これらのモードは位相特異点をもち、光子の軌道角運動量（英語版）の固有関数である。強度分布は中心に振幅がゼロとなる特異点を持つ、単一の明いリング状になる。振幅は正規化された無次元の動径座標 ρ = r/w0 と縦座標 Ζ = z/zR を用いて以下のように書き下される。 u p m ( ρ , θ ; Z ) = 2 p + | m | + 1 π Γ ( p + | m | + 1 ) Γ ( 1 + | m | + p 2 ) Γ ( | m | + 1 ) i | m | + 1 Z p 2 ( Z + i ) − ( 1 + | m | + p 2 ) ρ | m | e − i ρ 2 ( Z + i ) e i m ϕ 1 F 1 ( − p 2 , | m | + 1 ; r 2 Z ( Z + i ) ) {\displaystyle u_{pm}(\rho ,\theta ;\mathrm {Z} )={\sqrt {\frac {2^{p+|m|+1}}{\pi \Gamma (p+|m|+1)}}}{\frac {\Gamma (1+|m|+{\frac {p}{2}})}{\Gamma (|m|+1)}}\,\,i^{|m|+1}\mathrm {Z} ^{\frac {p}{2}}(\mathrm {Z} +i)^{-(1+|m|+{\frac {p}{2}})}\rho ^{|m|}e^{-{\frac {i\rho ^{2}}{(\mathrm {Z} +i)}}}e^{im\phi }{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {p}{2}},|m|+1;{\frac {r^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)} ここで m は整数、 p ≥ −|m| は実数、 Γ(x) はガンマ関数、1F1(a, b; x) は合流型超幾何関数である。 超幾何ガウシアン (英: hypergeometric-Gaussian, HyGG) モードの部分集合として、ベッセル・ガウシアンモード、修正指数ガウシアンモード、修正ラゲール・ガウシアンモードがある。 超幾何ガウシアンモードは過完備基底系を成し、直交基底系ではない。このモードは全体としては複雑な分布を持つが、瞳面 (Z = 0) においては非常に単純な分布を示す。 u ( ρ , ϕ , 0 ) ∝ ρ p + | m | e − ρ 2 + i m ϕ {\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{p+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }}
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