合流型超幾何関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:39 UTC 版)
合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function): 1 F 1 ( α ; γ ; z ) := ∑ n = 0 ∞ ( α ) n ( γ ) n n ! z n , z ∈ C {\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} } は次の漸近展開を持つ。 1 F 1 ( α ; γ ; z ) ∼ Γ ( γ ) Γ ( γ − α ) ( exp ( − i π ) z ) − α [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( α ) k ( α − γ + 1 ) k k ! 1 z k ] + Γ ( γ ) Γ ( α ) exp ( z ) z α − γ [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ( γ − α ) k ( 1 − α ) k k ! 1 z k ] , − π 2 < arg ( z ) < 3 π 2 , | z | → ∞ . {\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .} arg {\displaystyle \arg } は複素数の偏角であり、 ( α ) k {\displaystyle (\alpha )_{k}} はポッホハマー記号である。
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