射影空間とは？わかりやすく解説

射影空間（しゃえいくうかん、英: projective space）とは、その次元が $n$ であるとき、 $(n + 1)$ 個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。

定義

$K$ を体とする。 $K$ 上の $n$ 次元の射影空間 $KP n$ は、 $(n + 1)$ 個の $K$ の要素の比 $[x 0 : x 1 : \dots : x n]$ の全体の集合として定義される。すなわち、ベクトル空間 $V = K n +1$ の $0$ でないベクトルに対して、同値関係 $(a 0, a 1, ..., a n) \sim (b 0, b 1, ..., b n)$ を、 $0$ でない $K$ の元 $t$ が存在して任意の $i = 0, 1, ..., n$ に対して $b i = ta i$ であることとして定義するとき、

$KP_{n}={\bigl (}K^{n+1}\setminus \{0\}{\bigr )}/{\sim }$

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