例： 実射影空間の mod 2 コホモロジー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 15:50 UTC 版)
「普遍係数定理」の記事における「例： 実射影空間の mod 2 コホモロジー」の解説
X = Pn(R) を実射影空間（英語版）としよう。R = Z/2Z に係数をもつ X の特異コホモロジーを計算する。 整数ホモロジーは以下で与えられることを知っている： H i ( X ; Z ) = { Z i = 0 or i = n odd, Z / 2 Z 0 < i < n , i odd, 0 else. {\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}} Ext(R, R) = R, Ext(Z, R) = 0 なので上の完全列は ∀ i = 0 , ⋯ , n : H i ( X ; R ) = R {\displaystyle \forall i=0,\cdots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R} を生む。実は全コホモロジー環構造は H ∗ ( X ; R ) = R [ w ] / ⟨ w n + 1 ⟩ . {\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}
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