例： 整数と、多様体や環のグロタンディーク群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/01 16:28 UTC 版)
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グロタンディーク群の最も単純な構成例は、自然数から整数の構成である。まず、自然数と通常の加法は、確かに可換モノイド (N, +) を形成する。ここで、グロタンディーク群の構成を使うと、自然数の形式的な差として元 n - m を得、同値関係 n − m ∼ n ′ − m ′ ⟺ n + m ′ = n ′ + m {\displaystyle n-m\sim n'-m'\iff n+m'=n'+m} を得る。ここで、すべての n ∈ N に対して、 n := [ n − 0 ] {\displaystyle n:=[n-0]} , − n := [ 0 − n ] {\displaystyle -n:=[0-n]} と定義する。これは、整数 Z を定義する。実際、この構成は自然数から整数を構成する通常の方法である。より詳細な説明は整数の構成を参照。 グロタンディーク群は K-理論の基本的な構成である。コンパクト多様体 M の群 K0(M) は M 上の有限ランクのベクトル束のすべての同型類からなる可換モノイドにモノイド演算を直和で与えたグロタンディーク群と定義される。これは多様体からアーベル群への反変関手を与える。関手は位相的K-理論（英語版）において研究され拡張されている。 （可換でなくてもよい）環 R の 0 次代数 K 群 K0(R) は R 上有限生成射影加群の同型類からなるモノイドでモノイド演算が直和によって与えられるもののグロタンディーク群である。このとき K0 は環からアーベル群への共変関手である。 これら 2 つの例は関係している： R がコンパクト多様体 M 上の（複素数値としよう）滑らかな関数全体の環 C∞(X) である場合を考えよう。この場合射影 R-加群は（セール・スワンの定理によって）M 上のベクトル束に双対である。したがって K0(R) と K0(M) は同じ群である。
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