より詳細な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 14:57 UTC 版)
この矩形波の場合、周期はL = 2πであり、不連続点はx0 = 0 であり、跳びはa = π/2 である。議論を単純にするため、N が偶数の場合だけを扱うことにする（奇数の場合の議論も、全く同様にできる）。このとき、N 次部分和は次のようになる（N は偶数なので、この例では、N 次高調波成分は存在しない）。 S N f ( x ) = sin ( x ) + 1 3 sin ( 3 x ) + ⋯ + 1 N − 1 sin ( ( N − 1 ) x ) . {\displaystyle S_{N}f(x)=\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)x).} ここにx = 0 を代入すると、既述のように S N f ( 0 ) = 0 = − π 4 + π 4 2 = f ( 0 − ) + f ( 0 + ) 2 {\displaystyle S_{N}f(0)=0={\frac {-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}}{2}}={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}} が得られる。次に、 S N f ( 2 π 2 N ) = sin ( π N ) + 1 3 sin ( 3 π N ) + ⋯ + 1 N − 1 sin ( ( N − 1 ) π N ) {\displaystyle S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)} を計算するのだが、この式は、sinc関数 sinc ( x ) := sin ( x ) / x {\displaystyle \operatorname {sinc} (x):=\sin(x)/x} を用いると、次のように表せる。 S N f ( 2 π 2 N ) = 1 2 [ 2 π N sinc ( π N ) + 2 π N sinc ( 3 π N ) + ⋯ + 2 π N sinc ( ( N − 1 ) π N ) ] {\displaystyle S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)\right]} 右辺の角括弧内の式は、積分 ∫ 0 π sinc ( t ) d t {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt} の数値積分近似である（より正確には、間隔 2π/N による中点法則近似である)。sinc 関数は連続だから、この近似は N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } の時、実際の積分値に近付いていく。従って、次が得られる。 lim N → ∞ S N f ( 2 π 2 N ) = 1 2 ∫ 0 π sinc ( t ) d t = π 4 + π 2 ⋅ 0.089490 … {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots } これは、本セクション冒頭で示された通りのものである。同様の計算で次が得られる。 lim N → ∞ S N f ( − 2 π 2 N ) = − 1 2 ∫ 0 π sinc ( t ) d t = − π 4 − π 2 ⋅ 0.089490 … {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(-{\frac {2\pi }{2N}}\right)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt=-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots }
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