より進んだ内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/10 15:29 UTC 版)
「ヒルベルトの第3問題」の記事における「より進んだ内容」の解説
上記のデーンの定理に照らして考えると、次の疑問が浮かぶ：「多面体が分割合同であるのはどのようなときか？」 ジャン＝ピエール・シドラー（英語版）は、2個の多面体が分割合同であるのは、それらの体積とデーン不変量がいずれも等しいとき、かつそのときに限ることを証明した（1965年）。ボルゲ・ジェッセン（英語版）は後にシドラーの結果を4次元空間にまで拡張した。1990年 Dupont と Sah は、命題をある古典群（英語版）のホモロジーに関するものだと解釈し直すことで、シドラーの結果のより簡単な証明を与えた。 1980年、Debrunner は3次元空間の周期的な空間充填ができる多面体のデーン不変量は必ず0であることを証明した。 ジェッセンはまた、彼の結果が球面幾何学や双曲幾何学においても正しいかどうかを問うた。これらの幾何学においてもデーンの手法は通用し、2個の「多面体」が分割合同であればデーン不変量が等しいことが分かっている。ところが、これらの空間での体積とデーン不変量がいずれも等しい2個の多面体が分割合同かどうかは未だに解決されていない。
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