例：球面上の曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:08 UTC 版)
R3の単位球上の球面曲線は、次のように媒介変数表示することができる。 X ( u , v ) = [ cos u sin v sin u sin v cos v ] , ( u , v ) ∈ [ 0 , 2 π ) × [ 0 , π ] . {\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].} X(u,v) を u と v に関して微分すると、次のようになる。 X u = [ − sin u sin v cos u sin v 0 ] , X v = [ cos u cos v sin u cos v − sin v ] . {\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} 第一基本形式の係数は、この偏導関数の内積を取ることで得ることもできる。 E = X u ⋅ X u = sin 2 v F = X u ⋅ X v = 0 G = X v ⋅ X v = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}} すなわち、次のようになる。 [ E F F G ] = [ sin 2 v 0 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.}
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