例：スターリングの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:50 UTC 版)
「ラプラスの方法」の記事における「例：スターリングの公式」の解説
ラプラスの方法はスターリングの公式 n ! ∼ n n e − n 2 π n ( n → ∞ ) {\displaystyle n!\sim n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )} の導出に用いることができる。ガンマ関数の定義から n ! = Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t t n d t {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{n}\,dt} が得られる。変数変換 t = nx を考えると dt = ndx ゆえ n ! = ∫ 0 ∞ e − n x ( n x ) n n d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e − n x x n d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e − n x e n ln x d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e n ( ln x − x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}n!&=\int _{0}^{\infty }e^{-nx}(nx)^{n}n\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}x^{n}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}e^{n\ln x}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln x-x)}\,dx.\end{aligned}}} この積分はラプラスの方法が適用できる形である。いま f(x) = ln x − x とおけば、これは二階微分可能で、 f ′ ( x ) = 1 x − 1 , f ″ ( x ) = − 1 x 2 . {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}-1,\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}.} よって関数 f(x) は点 x0 = 1 でのみ最大値 f(x0) = −1 をとり、f′′(x0) = −1 である。したがって n ! ∼ n n + 1 e − n 2 π n = n n e − n 2 π n ( n → ∞ ) {\displaystyle n!\sim n^{n+1}e^{-n}{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )} となる。
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