スターリングの公式との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/21 16:03 UTC 版)
「ウォリス積分」の記事における「スターリングの公式との関係」の解説
「スターリングの近似」も参照 スターリングの公式： lim n → ∞ n ! n ( e n ) n = 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}={\sqrt {2\pi }}} はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し a n := n ! n ( e n ) n {\displaystyle a_{n}:={\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}} とおくと、 lim n → ∞ a 2 n a n 2 = 1 2 lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 2 π ( 2 π ) 2 = 1 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{2n}}{{a_{n}}^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {\sqrt {2\pi }}{({\sqrt {2\pi }})^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}} が得られる。
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