複素関数の等角写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/11 13:45 UTC 版)
複素平面 z から複素平面 w への写像である関数 w = f(z) について、正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ。 関数 f によって点 z0 とその近傍にある2点 z1, z2 が点 w0 とその近傍にある2点 w1, w2 に写像されるとき、f が正則ならば lim z 1 → z 0 w 1 − w 0 z 1 − z 0 = lim z 2 → z 0 w 2 − w 0 z 2 − z 0 = f ′ ( z 0 ) . . . ( 1 ) {\displaystyle \lim _{z_{1}\to z_{0}}{\frac {w_{1}-w_{0}}{z_{1}-z_{0}}}=\lim _{z_{2}\to z_{0}}{\frac {w_{2}-w_{0}}{z_{2}-z_{0}}}=f'(z_{0})...(1)} ここで z 0 = | z 0 | exp ( i arg ( z 0 ) ) {\displaystyle z_{0}=|z_{0}|\exp(i\arg(z_{0}))\,\!} のように展開して整理すれば lim | w 1 − w 0 | | w 2 − w 0 | e i arg ( w 1 − w 2 ) = lim | z 1 − z 0 | | z 2 − z 0 | e i arg ( z 1 − z 2 ) {\displaystyle \lim {\frac {|w_{1}-w_{0}|}{|w_{2}-w_{0}|}}e^{i\arg(w_{1}-w_{2})}=\lim {\frac {|z_{1}-z_{0}|}{|z_{2}-z_{0}|}}e^{i\arg(z_{1}-z_{2})}} この式の偏角をとれば lim arg ( w 1 − w 2 ) = lim arg ( z 1 − z 2 ) {\displaystyle \lim \arg(w_{1}-w_{2})=\lim \arg(z_{1}-z_{2})} すなわち、全ての正則関数による写像は微小な角を保存する。また、(1) の絶対値は | d w d z | = | f ′ ( z ) | {\displaystyle \left|{\frac {dw}{dz}}\right|=|f'(z)|} であり、これは微小線分の拡大率がその方向によらないことを示している。
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