複素関数としての指数積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/19 02:08 UTC 版)
「指数積分」の記事における「複素関数としての指数積分」の解説
複素数 z に対し指数積分 Ei(z) は次のように定義される。 Ei ( z ) = − π i + ∫ − ∞ − 0 i 1 − 0 i e t t d t + ∫ 1 z e t t d t {\displaystyle \operatorname {Ei} (z)=-\pi i+\int _{-\infty -0i}^{1-0i}{\frac {e^{t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t+\int _{1}^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t} これは多価関数であるが、本稿では負の実軸で分枝切断を行い正の実軸上で実数値をとるようにする。(文献によっては定義が異なる) Ei ( x ± 0 i ) = E i r e a l ( x ) ± π i ( x < 0 ) , Ei ( x ) = E i r e a l ( x ) ( x > 0 ) {\displaystyle \operatorname {Ei} (x\pm 0i)=\operatorname {{Ei}^{real}} (x)\pm \pi i\quad (x<0),\quad \operatorname {Ei} (x)=\operatorname {{Ei}^{real}} (x)\quad (x>0)} これとは別に E n ( z ) = z n − 1 ∫ z ∞ e − t t n d t {\displaystyle E_{n}(z)=z^{n-1}\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{n}}}\,\operatorname {d} \!t} を n 次の指数積分と呼び、 E 1 ( z ) = ∫ z ∞ e − t t d t {\displaystyle E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t} を Ei(z) と記すこともある。このときは次のように分枝をとる。 Im ( E n ( x ± 0 i ) ) = ∓ π ( − x ) n − 1 i ( x < 0 ) , Im ( E n ( x ) ) = 0 ( x > 0 ) E 1 ( x ± 0 i ) = − E i r e a l ( − x ) ∓ π i ( x < 0 ) , E 1 ( x ) = − E i r e a l ( − x ) ( x > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Im} (E_{n}(x\pm 0i))=\mp \pi (-x)^{n-1}i\quad (x<0),\quad \operatorname {Im} (E_{n}(x))=0\quad (x>0)\\&E_{1}(x\pm 0i)=-\operatorname {{Ei}^{real}} (-x)\mp \pi i\quad (x<0),\quad E_{1}(x)=-\operatorname {{Ei}^{real}} (-x)\quad (x>0)\end{aligned}}} 両者は次のような関係で結ばれる。 Ei ( z ) = − E 1 ( − z ) + π i ( Im ( z ) < 0 ) , Ei ( z ) = − E 1 ( − z ) − π i ( Im ( z ) > 0 ) {\displaystyle \operatorname {Ei} (z)=-E_{1}(-z)+\pi i\quad (\operatorname {Im} (z)<0),\quad \operatorname {Ei} (z)=-E_{1}(-z)-\pi i\quad (\operatorname {Im} (z)>0)}
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