複素領域での微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/12 18:06 UTC 版)
「モノドロミー」の記事における「複素領域での微分方程式」の解説
重要な応用のひとつが微分方程式であり、そこではひとつの解が解析接続により線型独立な解たちを与えることとなる。さらに詳しくは、複素平面内の開いた連結集合 S の中で定義された線型微分方程式が S の基本群の線型表現である閉道を回るすべての解析接続の一価性群を持つ。与えられた表現を持ち確定特異点（英語版）(regular singularities)を持つ方程式を構成する逆問題をリーマン・ヒルベルトの問題（英語版）(Riemann–Hilbert problem)という。 確定特異点を持つ線型系（とくにフックス型の）に対し、通常、反時計回りの系の曲のひとつの回りにある各々の閉道に対応する作用素 Mj が、一価性の生成子として選択される。反時計回りに回ると、インデックス j が 1 から p + 1 へ増えるような方法で選択されると、生成子の間の唯一の関係式は M 1 . . . M p + 1 = i d {\displaystyle M_{1}...M_{p+1}=id} となる。ドリーニュ・シンプソンの問題（英語版）(Deligne–Simpson problem)は次のような実現問題である。GL(n, C) の共役類の組に対し、上記の関係式を満たす行列の既約な組 Mj がこれらの類型に存在するか？ この問題は、ドリーニュ(Pierre Deligne)により最初に定式化され、カルロス・シンプソン（英語版）(Carlos Simpson)によりこの解決へ向けた最初の結果が得られた。フックス系の留数についての加法的な版の問題は、ヴラディミール・コストフ（英語版）(Vladimir Kostov)により定式化され研究された。この問題は、多くの数学者により GL(n, C) 以外に対しても同様に考えられた。
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