ポリガンマ函数・調和数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/28 02:24 UTC 版)
ポリガンマ函数はガンマ函数の対数微分であり、したがって乗法定理も乗法的でなく加法的に書かれることになる。 m > 1 に対して k m ψ ( m − 1 ) ( k z ) = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( m − 1 ) ( z + n / k ) {\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}(z+n/k)} および m = 1 のとき、つまりディガンマ函数に対して k [ ψ ( k z ) − log ( k ) ] = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( z + n / k ) {\displaystyle k[\psi (kz)-\log(k)]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+n/k)} で与えられる。 このポリガンマの等式は調和数の乗法定理を得るのに用いることができる。
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