Composite exponent
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/12 01:14 UTC 版)
「対数微分法」の記事における「Composite exponent」の解説
次の形の関数に対して f ( x ) = g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!} 自然対数は冪乗を積に変える ln ( f ( x ) ) = ln ( g ( x ) h ( x ) ) = h ( x ) ln ( g ( x ) ) {\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))\,\!} チェインルールと積の法則（英語版）を適用して微分する f ′ ( x ) f ( x ) = h ′ ( x ) ln ( g ( x ) ) + h ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}} 整理すると f ′ ( x ) = f ( x ) × { h ′ ( x ) ln ( g ( x ) ) + h ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) } = g ( x ) h ( x ) × { h ′ ( x ) ln ( g ( x ) ) + h ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) } . {\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.} 同じ結果は f を exp の言葉で書き直しチェインルールを適用することによって得ることができる。
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