座標に依存しない記述とは? わかりやすく解説

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座標に依存しない記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/09/21 14:17 UTC 版)

微分作用素」の記事における「座標に依存しない記述」の解説

微分幾何学代数幾何学において二つベクトル束の間の微分作用素座標に非依存記述をすることが便利なことがある。E および F は可微分多様体 M 上ベクトル束とする。切断空間上の R-線型写像 P: Γ(E) → Γ(F) がk-階の線型微分作用素であるとは、ジェット束英語版Jk(E) を通して分解するときに言う。即ち、ベクトル束の間の線型写像 i P : J k ( E ) → F {\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F} が存在してP = i Pj k {\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}} が成り立つ。ここに jk: Γ(E) → Γ(Jk(E)) は、E の任意の切断にそのk-次のジェット英語版)を対応付ける延長 (prolongation) 写像である。 これはちょうど、与えられた E の切断 s に対し、点 x ∈ M における P(s) の値は x における s の k-階の無限小振る舞いにより完全に決定されることを意味する。特にこのことから、P(s)(x) は s のにより決定されることが従い、またこれは微分作用素局所的であるということ表される基本的結果は、このステートメントの逆である任意の線型局所作用素微分作用素であるというペートルの定理英語版)(Peetre theorem)である。

※この「座標に依存しない記述」の解説は、「微分作用素」の解説の一部です。
「座標に依存しない記述」を含む「微分作用素」の記事については、「微分作用素」の概要を参照ください。

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