座標からの共線性判定
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/25 17:08 UTC 版)
解析幾何学において、n-次元空間内の三つ以上の相異なる点からなる集合が共線であるための必要十分条件は、それらのベクトルの座標を並べた行列の階数が 1 以下となることである。例えば、三点 X := (x1, x2, …, xn), Y := (y1, y2, …, yn), Z := (z1, z2, …, zn) が与えられたとき、行列 ( x 1 x 2 … x n y 1 y 2 … y n z 1 z 2 … z n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{pmatrix}}} が階数 1 以下ならばこれら三点は共線である。あるいは同じことだが、与えられた点の集合の任意の三点 X, Y, Z の成す部分集合に対して行列 ( 1 x 1 x 2 … x n 1 y 1 y 2 … y n 1 z 1 z 2 … z n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{pmatrix}}} が階数 2 以下のとき、これらの点は共線である。特に平面 (つまり n = 2) のとき、後者の行列は 3 × 3 正方行列となり、三点が共線である必要十分条件をその行列式が零となることと述べることができる。この 3 × 3 行列式はこれら三点を頂点とする三角形の面積の（正または負の）二倍に等しいから、これら三点が共線である必要十分条件はこれら三点を頂点とする三角形の面積が零であることと言っても同じことである。
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