座標の取り換え
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/09 01:38 UTC 版)
「アトラス (多様体)」の記事における「座標の取り換え」の解説
M {\displaystyle M} U α {\displaystyle U_{\alpha }} U β {\displaystyle U_{\beta }} φ α {\displaystyle \varphi _{\alpha }} φ β {\displaystyle \varphi _{\beta }} τ α , β {\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }} τ β , α {\displaystyle \tau _{\beta ,\alpha }} R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} Two charts on a manifold, and their respective transition map アトラスにおける二つのチャートを比べる方法として、それらの間の座標変換を与える遷移写像 (transition map; 推移写像) を考えることができる。この遷移を記述するには、一方の座標写像の逆写像に他方の座標写像を合成することを考えればよい。ただし、この合成をきちんと定義するには、両座標写像の定義域をそれぞれの写像の定義域の交わりに制限しなければならない。 より精確に述べれば、 定義 (transition map) 多様体 M の一つのアトラスに属する二つのチャート (Uα, φα), (Uβ, φβ) が Uα ∩ Uβ ≠ ∅ となるとき、座標変換あるいはチャート間の遷移とは τα,β: φα(Uα ∩ Uβ) → φβ(Uα ∩ Uβ) は τ α , β := φ β ∘ φ α − 1 {\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}} と定義される写像（ベクトル値函数）Rn → Rn を言う。 φα, φβ がともに同相写像であるから、変換函数 τα,β もまた同相となることに注意。
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