微分作用素の球面座標変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:14 UTC 版)
「遅延ポテンシャル」の記事における「微分作用素の球面座標変換」の解説
「x-y-z空間上の微分作用素Ｄに対しΦによる座標変換を施したもの」をLとしたとき、Lは、r-θ-ρ空間上の微分作用素で、任意のhに対し以下の式(2-3-2)の関係が満たされる（逆に言えばそうなるようなLを求めることが微分作用素の座標変換である）。 L [ h ∘ Φ ] = ( D [ h ] ) ∘ Φ {\displaystyle L[h\circ \Phi ]=(D[h])\circ \Phi } (S3-2-1) 但し、式S(3-2-1)のhは、「作用されるもの」（x-y-z空間上の関数、ベクトル場等）で、 ∘ {\displaystyle \circ } は、合成を表す。以下、本節では、便宜のため式S(3-2-1)のような関係にあるLとＤのことを、「LとＤの間にはΦ関係がある」と言うことにする。 x-y-z空間上の微分作用素Ｄと、r-θ-ρ空間上の微分作用素Lとの間に式(S3-2-1)の意味でΦ関係があったとする。 このとき、例えば、hが、x-y-z空間上で定義されたスカラー値関数（スカラー場）としたとき、Lは、x-y-z空間上で定義されたスカラー場h=h(x,y,z)に対しては、直接的に作用することはできない。しかし、前記hとΦとの合成関数は、「r-θ-ρ上で定義されたスカラー場」であるため、Lは、 h ∘ Φ {\displaystyle h\circ \Phi } には、作用できる。このとき、式(2-3-2)の左辺と右辺の意味は、それぞれ、 左辺「Lを、 h ∘ Φ {\displaystyle h\circ \Phi } に作用させたもの」 右辺「『Ｄをhに作用させることによって得られたＤ[h]』と、Φを合成したもの」 という意味である。 同様に、例えば、Xが、x-y-z空間上で定義されたベクトル場であったとするとき、x-y-z空間上の微分作用素Ｄと、r-θ-ρ空間上の微分作用素Lとの間に式(2-3-2)の意味でΦ関係があったとする。即ち、 L [ X ∘ Φ ] = ( Δ [ X ] ) ∘ Φ {\displaystyle L[{\boldsymbol {X}}\circ \Phi ]=(\Delta [{\boldsymbol {X}}])\circ \Phi } 式(S3-2-1’) が成り立ったとする。このとき、Lは、x-y-z空間上で定義されたベクトル場X=X (x,y,z)に対しては、直接的に作用することはできない。 しかし、前記XとΦとの合成関数は、「r-θ-ρ上で定義されたベクトル場」であるため、Lは、Xには、作用できる。このとき、式(2-3-2’)の左辺と右辺の意味は、それぞれ、 左辺：Lを、 X ∘ Φ {\displaystyle {\boldsymbol {X}}\circ \Phi } に作用させたもの 右辺：『ＤをＸに作用させることによって得られたＤ[Ｘ]』と、Φを合成したもの という意味である。
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