STEP3
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/05 02:50 UTC 版)
STEP3は、総合的な医療知識と実践に関する試験である。一般的にはレジデンシーの初年度に受験する場合が多い。試験は2日間行われる。
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STEP3
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:14 UTC 版)
本節では、前節のインパルス応答の式(式(2-2-1))に、球面座標変換を施し、さらに、空間の球対称性を考慮することで、式(2-2-1）を常微分方程式に帰着する。本節では、ラプラシアンの球面座標変換は既知の事実としているため、実際にやっていることは、本記事微分作用素の球面座標変換の式(S3-2-1) の意味での”Φ関係”を適用したに過ぎないのだが抽象的な座標変換では、途端に議論の道筋が見えにくくなることが多いため、本記事では、本過程を敢えて一つのステップに切り出すこととした。微分作用素の座標変換の例は例えば、等の文献を参照のこと 本節の主結果は、以下の補題3に纏められる。 補題 3 (ヘルムホルツ方程式のインパルス応答の球面座標変換)x-y-z空間上のスカラー値関数G(x,y,z)が、式(2-2-1)の球対称解である必要充分条件は、G(x,y,z)が、以下の式(2-3-1)を充すことである。 1 r ∂ 2 [ r G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] ∂ r 2 + k 2 G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) = δ 3 ( r ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}[rG(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]}{\partial r^{2}}}+k^{2}G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )={\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-3-1) 但し、kは、以下の式(2-3-2)で定まる定数とする。 k = ( ω c ) {\displaystyle k=\left({\frac {\omega }{c}}\right)} (2-3-2) ラプラシアン（ Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} ）に対し、球面座標変換を施したものを、 ( Φ ∗ Δ ) {\displaystyle ({\Phi }^{*}\Delta )} と書くと、 ( Φ ∗ Δ ) = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 + 1 r 2 cot θ ∂ ∂ θ + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ ρ 2 {\displaystyle ({\Phi }^{*}\Delta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\operatorname {cot} \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}} (2-3-3) となる。従って、式(2-1-4)のDに対して球面座標変換を施したものを、Lと書くと、 L = ( Φ ∗ Δ ) + ( ω 2 c 2 ) = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 + 1 r 2 cot θ ∂ ∂ θ + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ ρ 2 + ( ω 2 c 2 ) {\displaystyle L=({\Phi }^{*}\Delta )+\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\operatorname {cot} \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}+\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)} (2-3-4) である。上記の微分作用素Lは、 G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) {\displaystyle G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )} に対し、付録微分作用素の球面座標変換の式(S3-2-1) の意味での Φ {\displaystyle \Phi } 関係、即ち、 L [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] = ( Δ [ G ] ) ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) {\displaystyle L[G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]=(\Delta [G])(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )} (2-3-5) を充たすように作用するため、上記のヘルムホルツ方程式は、 ( Δ [ G ] ) ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) + k 2 G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) = δ 3 ( r ) {\displaystyle (\Delta [G])(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )+{k}^{2}G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )={\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-3-6) と変形される。 一方、位置 s {\displaystyle {\boldsymbol {s}}} における電流素片の影響は球対称、すなわち試験電荷（試験電流）の位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} と、電流素片との距離 | r − s | {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|} のみに依存するため、Gの、θ方向、 ρ {\displaystyle \rho } 方向の偏微分は、いずれも0であらねばならない。従って、 L [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] = ∂ 2 [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] ∂ r 2 + 2 r ∂ [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] ∂ r {\displaystyle L[G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]={\frac {\partial ^{2}[G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial [G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]}{\partial r}}} (2-3-7) が成り立つ。 さらに、積の微分の公式を考慮すると、 L [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] = 1 r ∂ 2 [ r ⋅ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] ∂ r 2 {\displaystyle L[G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}[r\cdot G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]}{\partial r^{2}}}} (2-3-8) が得られる。ここで、” ⋅ {\displaystyle \cdot } ”は、スカラー倍を意味する。即ち、 r ⋅ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) {\displaystyle r\cdot G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )} は、スカラーrによるベクトルAのスカラー倍を意味する。 従って、球対称性を考慮した場合、 1 r ∂ 2 [ r ⋅ ( G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ) ] ∂ r 2 + k 2 ⋅ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) = δ 3 ( r ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}[r\cdot (G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega ))]}{\partial r^{2}}}+{k}^{2}\cdot G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )={\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-3-9) が得られる。
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