分数的ラプラシアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:25 UTC 版)
0 < α ≤ 2 {\displaystyle 0<\alpha \leq 2} とする。 p ( x , ξ ) = | ξ | α ( = ( ∑ 1 ≤ j ≤ n ξ j 2 ) α / 2 ) {\displaystyle p(x,\xi )=|\xi |^{\alpha }(=(\sum _{1\leq j\leq n}\xi _{j}^{2})^{\alpha /2})} とおくと、これを表象に持つ擬微分作用素が存在するが、それは p ( x , D x ) = [ − ∑ 1 ≤ j ≤ n ( ∂ ∂ x j ) 2 ] α 2 = ( − Δ ) α 2 {\displaystyle p(x,D_{x})=\left[-\sum _{1\leq j\leq n}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{2}\right]^{\frac {\alpha }{2}}=(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}} と表される。これを分数的ラプラシアン (fractional Laplacian) という。
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