分数関数の漸近線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/02 23:19 UTC 版)
分数関数の漸近線の方程式は、上記の方法を使わずに求めることができる。 分数関数の式を y = g(x)/h(x)（既約分数式）とする。 y軸平行の漸近線 h(ai) = 0 を満たす ai を求める (i = 1,2, …, n)。既約より g(ai) ≠ 0 で、x = ai が漸近線である。 x → ±∞ で漸近する直線 存在する必要十分条件は deg g − deg h ≤ 1 である。このとき g(x) ÷ h(x) の商 q(x), 余り r(x) を求める。deg q ≤ 1 であり、直線 y = q(x) が x → ±∞ で漸近する直線である。 （例） y = x 3 + 2 x 2 − 2 x + 2 x 2 − x = x + 3 + x + 2 x ( x − 1 ) {\displaystyle y={\frac {x^{3}+2x^{2}-2x+2}{x^{2}-x}}=x+3+{\frac {x+2}{x(x-1)}}} 漸近線は、y軸平行の漸近線は x = 0, x = 1、x → ±∞ で漸近する直線は y = x + 3 である。 deg g − deg h の値によって、漸近線の位置が分類される。 分数関数の x → ±∞ で漸近する直線deg g − deg hx → ±∞ で漸近する直線分数関数，x → ±∞ で漸近する直線の例< 0 y = 0 1 x 2 + 1 , y = 0 {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}},\,y=0} = 0 y = q (≠ 0) 2 x 2 + 7 3 x 2 + x + 12 , y = 2 3 {\displaystyle {\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}},\,y={\frac {2}{3}}} = 1 y = ax + b (a ≠ 0) x 2 + x + 1 x , y = x + 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+x+1}{x}},\,y=x+1} > 1 存在しない 2 x 4 3 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}} , なし
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